Análise Combinatória Adalberto 02

153)      Marcela e Mário fazem parte de uma turma de quinze formandos, onde dez são rapazes e cinco são moças. A Tuma reúne-se para formar uma comissão de formatura composta por seis formandos. Qual o número diferentes comissões que podem ser formadas de modo que Marcela participe e Mário não?

Solução:

·         A ordem não interessa, portanto: Combinação!

·         Mário não vai participar, temos então 14 formandos;

·         Marcela participa da comissão de 6 pessoas, restam 5 vagas( Marcela já ocupou uma)!

Portanto: C_1,5 = 2002

154)     Em um pelotão há 18 policiais militares: 11 homens e 7 mulheres. De quantos modos pode-se selecionar 6 desses policiais para compor uma equipe, se apenas dois deles devem ser do sexo feminino?

Solução:

·           A ordem não interessa, portanto: Combinação!

·           Obrigatoriamente devem ser escolhidas duas mulheres: (6 - 2 = 4). O número de homens é 4;

·         Equipe com 4 homens: C _7,4;

·         Equipe com 2 homens: C _7,2;

C _7,4  x  C _7,2 = 6.930

155)     Dez amigos, entre eles Adam e Ruthe, devem formar uma fila para comprar as entradas para um filme. O número de diferentes formas que esta fila pode ser formada, de maneira que Adam e Ruthe fiquem sempre juntos, será de quanto?

Solução:

·         Vamos considerar Adam e Ruthe uma única pessoa AR, então a fila só terá 9 pessoas;

·         Mas Adam e Ruthe formam um par = 2

AR

9

8

7

6

5

4

3

2

1

   P₂                                  P₉                

         Portanto: P₂ x P₉ =  2 x 362.880 = 725.760

156) A senha para um programa de computador consiste numa sequência LLNNN, onde “L” representa uma letra qualquer do alfabeto normal de  26 letras e “N” é um algarismo de 0 a 9. Tanto letras como algarismos podem ou não ser repetidos, mas é essencial que as letras sejam introduzidas em primeiro lugar, antes do algarismo. Sabendo que o programa não faz distinção entre letras maiúsculas e minúsculas, qual será o número total de diferentes senhas possíveis?

Solução:

·         Elementos:

a.       Letras = 26

b.      Números = 10 algarismos

L	L	N	N	N
26	26	10	10	10

26 x 2 6 x 1 0 x 1 0 x 10 = 676.000 ou 26² x 10³

        Caso fossem contadas letras maiúsculas e minúscula, teríamos:

L	L	N	N	N
52	52	10	10	10

52 x 52 x 1 0 x 1 0 x 10 = 2.704.000 ou 52² x 10³

157)   De quantos modos podemos colocar 2 reis diferentes em casas não-adjacentes de um tabuleiro 8 c 8? Se os reis fossem iguais?

Solução:

·         O rei só anda de uma em uma casa do tabuleiro;

·         8 x 8 = 64 casas;

·         Rei Negro ocupando uma casa do canto:  4 casas par o Rei Negro e 60 para o Rei Branco (64 – 4 = 60): 4  x 60 = 240 modos para os reis;

·         Rei Negro ocupando uma casa lateral que seja a do canto: 24 posições para o Rei Negro e 58 para o Rei Branco : 24 x 58 = 1.392 modos para os reis;

·         Rei Negro ocupando uma casa central: 36 posições para o Rei Negro e 55 posições para o Rei Branco : 36 x 55 = 1.980 modos para os reis.

Portanto: 240 + 1.932 + 1.980 = 3.612 modos

Se fossem iguais, a resposta seria a metade : 3.612 ÷ 2 = 1.806

158)   De quantos modos podemos colocar 8 torres iguais em um tabuleiro 8 x 8, de modo que não haja duas torres na mesma linha ou na mesma coluna? E se a s torres fossem iguais?

Solução:

·         Há uma torre para cada linha:

1ª T	2ª T	3ª T	4ª T	5ª T	6ª T	7ª T	8ª T
8	7	6	5	4	3	2	1

8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 40.320 modos

Se forem diferentes: 8 x 8 x 7 x 7 x 6 x 6 x 5 x 5 x 4 x 4 x3 x 3 x 2 x 2 x 1 x 1=

64 x 49 x 36 x 25 x 16 x 9 x 4 x 1 = 1.625.702.400 modos

159)   De um baralho comum de 52 cartas, sacam-se sucessivamente e sem reposição duas cartas. De quantos modos isso pode ser feito se a primeira carta deve ser copas e a segunda não deve ser um rei?

Solução:

·         Sacando duas cartas, sobram 50;

·         Caso a primeira carta seja de copas, mas não um rei (52 – 4 = 48), a segunda poderá ser selecionada de 48 modos;

·         Caso a primeira carta seja de copas, mas não um rei, ela poderá ser selecionada de (48 ÷ 4 = 12), ela poderá ser selecionada de 12 modos e a segunda, de 47 modos (48 – 1 = 47).

Portanto: 1 x 48 + 12 x 47 = 612 modos

160) O conjunto A possui 4 elementos, e o conjunto B, 7 elementos. Quantas funções f : A ® B existem? Quantas delas são injetivas?

Solução:

·         A ={a, b, c, d} e B = {1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7}®Escolhidos arbitrariamente;

·         Cada elemento de A pode se relacionar de 7 modos cada um:

7 x 7 x 7 x 7 = 2.401 funções

·      Caso a segunda função seja injetiva, ocorrerá o seguinte:

a)      O 1º elemento de A poderá fazer sua escolha de 7 modos;

b)      O 2º elemento de A poderá fazer sua escolha de 6 modos;

c)      O 3º elemento de A poderá fazer sua escolha de 5 modos;

O 4º elemento de A poderá fazer sua escolha de 4 modos

Análise Combinatória Adalberto 01

161)    Quantos são os gabaritos possíveis de um teste de 10 questões de múltipla-           -escolha, com 5 alternativas por questões?

Solução:

1Q	2Q	3Q	4Q	5Q	6Q	7Q	8Q	9Q	10Q
5	5	5	5	5	5	5	5	5	5

 5  x   5  x  5  x  5   x  5  x  5  x  5  x   5  x  5  x   5 = 5¹⁰

                                 Ou 9.765.625

162)     Um vagão do metrô tem 10 bancos individuais, sendo 5 de frente e 5 de costas. De 10 passageiros, 4 preferem sentar de frente, 3 preferem sentar de costas e os demais não têm preferência. De quantos modos eles podem se sentar, respeitadas as preferências?

Solução:

·         Os 4 que preferem sentar de frente podem fazê-lo de 5 x 4 x 3 x 2 = 120 modos;

·         Os 3 que preferem sentar de costas podem fazê-lo de 5 x 4 x 3 = 60 modos;

·         Os restantes ( 10 – [ 4 + 3] = 10 – 7 = 3) podem se colocar nos lugares restantes de 3 x 2 x 1= 6 modos

Portanto : 120 x 60 x 6 = 43.200

163) Quantos são os anagramas da palavra CAPÍTULO:

a)   Possíveis?

Solução:

Temos 8 elementos : P₈ = 8! = 40.320 anagramas

b)   Que começam e terminam por vogal?

Solução:

·      Para a primeira casa temos 4 opções : {A-I-U-O}, para última casa temos somente 3 opções, pois já escolhemos uma vogal para a primeira casa, por exemplo, escolhido o A : {I-U-O}.

4V							3V
4	8	7	6	5	4	3	3

3        x  8  x 7 x  6  x 5  x 4 x 3 x 3 = 8.640 anagramas

Ou 4 x P₆ x 3 =  4 x 120 x 3 = 8.640

c)    Que têm  vogais e consoante intercaladas?

Solução:

V

C

V

C

V

C

V

C

Vogais P₄ = 24               24 x 24 = 576 anagramas

Consoantes P₄ = 24

d)   Que têm as letras C,A,P juntas nessa ordem?

Solução:

·      Nessa ordem significa que elas não mudam de posição. Consideremos CAP como uma única letra: CAP = X.

XÍTULO = 6 letras: P₆ = 6! = 720 anagramas

e)        Que têm as Letras C,A,P em qualquer ordem?

Solução:

·      Em qualquer ordem significa que elas podem permutar entre si, como temo três letras: P₃ = 3! = 6

·      Consideremos CAP como uma única letra: CAP = X.

XÍTULO = 6 letras: P₆ = 6! = 720

Portanto: 6 x 720 = 4.320anagramas

f)     Que têm a letra P em primeiro lugar e a letra C em segundo?

Solução:

·    PC = 2 letras ® 8 – 2 = 6 ® P₆ = 6! = 720 anagramas

g)        Que têm a letra P em primeiro lugar ou a letra A em segundo?

Solução:

P
							A
P							A

2 x (P₇) - P₆ = 2 x ( 7!) - 6! = 2 x 5.040 - 720 = 10.080 - 720 = 9.360 anagramas

Ø Subtraímos (-6!) porque P e A são contados duas vezes!

h)        Que têm P em primeiro ou A em segundo ou C em terceiro?

Solução:

P
	A
		C
P	A
A		C
P		C

3 x (P₇) – 3x (P₆)  +  P₅ = 3 x 5.040 – 3 x 720 + 120 = 15.120 – 2.160 + 120

= 12.960 + 120 =13.080 anagramas

i)     Nos quais a letra A é uma das letras à esquerda de P e a letra C é uma das letras à direita de P?

Solução:

·    APC = 3 letras;

·      C _8,3 = 8!/[3! (8-3)!] = 56

APC = X = 1 = P₁ = 1

APC = 3 letras® 8 – 3 = 5® P₅ = 5! = 120

Portanto: 1 x 56 x 120 = 6.720 anagramas

j)     Que têm as vogais em ordem alfabética?

Solução:

·      C _8,4 = 70;

·      A-I-O-U :  Em ordem alfabética : P₄ = 4! = 24

·      AIOU = X = 1= P₁ = 1

     Portanto: 70 x 1 x 24 = 1.680 anagramas