Análise Combinatória IX

01)  Quantos números de 9 algarismos diferentes podem ser formados com os algarismos significativos, de sorte que comecem por 2, 4, 6, 8?

 Solução:

·         Para a primeira casa podemos usar os quatros algarismos: 2, 4, 6, 8 = Possibilidades.

·         Preenchendo a primeira casa com uma das possibilidades (2, 4, 6, 8); restam 8 algarismos a ser distribuídos pelas casas restantes:

4 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 161.280

Ou  4 x P₈ = 4 x 8! = 161.280

02)  Quantos números com 9 algarismos diferentes poderemos formar com os algarismos significativos, de modo que os algarismos extremos sejam 1, 3, 5, ou 7?

 Solução:

·         Para cada extremidade podemos colocar 4 algarismos (1, 3, 5, ou 7) = A _4,2

·         Colocando em cada extremidades um dos algarismos (1, 3, 5, ou 7); restam 7 casas a ser preenchidas com os 7 algarismos restantes: P₇ = 7!

Portanto: A _4,2  x P₇ = 60.480

03)  Considerando-se os anagramas da palavra REPÚBLICA, pergunta-se:

a)      Qual é total deles?

b)      Quantos terminam em A?

c)      Quantos começam por R?

d)      Quantos começam por R e terminam por A?

e)      Quantos começam por consoante?

f)       Quantos terminam em vogal?

g)      Quantos começam por consoante em terminam em vogal?

h)      Quantos têm ICA juntas e nesta ordem?

i)        Quantos têm ICA juntas e em qualquer ordem?

Solução:

a)      P₉ = 9! = 362.880

b)      Colocando A no final; restam 8 letras a ser distribuídas nas oito casa restantes:

P₈ = 8! = 40.320

c)      Colocando R no início; restam 8 letras a ser distribuídas nas oito casas restantes:

P₈ = 8! = 40.320

d)      Colocando R no início e a no final; restam 7 letras a ser distribuídas nas sete casas restantes: P₇ = 7! = 5.040

e)      Temos 5 consoantes a ser colocadas na primeira casa, uma por vez, portanto: 5

Mas temos 8 letras restantes a ser distribuídas nas oito casas restante (já se colocou uma consoante dentre as cinco possibilidades) : 8!

5 x P₈ = 5 x 8! = 5 x 40.320 = 201.600

f)       Temos 4 vogais  a ser colocadas na última casa, uma por vez, portanto : 4

Mas temos 8 letras restantes a ser distribuídas nas oito casas restante (já se colocou uma consoante dentre as quatro possibilidades) : 8!

4 x P₈ = 4 x 8! = 4 x 40.320 = 161.280

g)      Temos 5 consoantes a ser colocadas na primeira casa, uma por vez, portanto: 5

Temos 4 vogais  a ser colocadas na última casa, uma por vez, portanto : 4

Restam 7 letras a ser distribuídas nas sete casas restantes:

 

4 x P₇ x 5 = 4 x 7! X 5 = 20 x 5.040 = 100.800

a)      Contamos ICA como se fosse uma única letra: ICA = X.

REPUBLX = 7 ® P ₇ = 7! = 5.040

b)      Contamos ICA como se fosse uma única letra: ICA = X. Como, nesse caso, não importa a ordem, as três letras podem permutar entre si: ICA-IAC...Portanto: 3!

P₃ x P₇ = 3! x 7! = 6 x 5.040 = 30.240

01)  Quantos são os anagramas da palavra UNIVERSAL que começam por consoante e terminam por vogal?

 Solução:

·         Temos 9 letras , 4 vogais e 5 consoantes.

·         4 x P₇ x 5 = 4 x 7! X 5 = 20 x 5.040 = 100.800

02)  De quantas maneiras diferentes se podem dispor as letras da palavra CELIBATO?

 Solução:

 P₈ = 8! = 40.320

  100)Quantas são as permutações que podemos formar com as letras da palavra HÁBITO, nas quais as vogais ocupem sempre os lugares de ordem par?

 Solução:

P

I

P

I

P

I

                 3!

Mas como elas podem permutar em ter si: P₃ x P₃ =3! X 3! = 6 x 6 = 36

101)Quantas são as permutações distintas das letras da palavra ARARUTA?

 Solução:

·         Temos A = 3; R = 2 ; U = 1 ; T = 1

·         3!2!1!1! = 6 x 2 x 1 x 1 = 12

·         Temos no total 7 letras: 7! = 5.040

Portanto: 5040 ÷ 12 = 420 permutações

Podemos, também resolver de duas maneiras usando duas fórmulas:

a)      N = .          n!                  .

           n₁!n₂!n₃!...n_r!

                       N = .       9!    . = 5.040 ÷ 12 = 420

                                3!2!1!1!

b)      P_n ^{( a, b, c ....r )} =  .         n!               =  5.040 ÷ 12 = 420

                        a! b! c!...r!

102)Quantos anagramas podemos formar com a palavra MARCELO?

      Solução:

·         Não temos repetição de letras: P₇ = 7! = 5.040

103)Quantos anagramas que comecem e terminem por consoantes podemos formar a partir da palavra MARCELO?

        Solução:

·         Temos 7 letras;

·         No início poderemos utilizar uma das quatro consoantes, no final, somente três, uma vez que  uma (1) já estará incluída na quatro:

4C

3C

                    5!

4        x P₅  x  3 = 4 x 5! X 3 = 4 x 120 x 3 = 1.440 anagramas

104)Da palavra MARCELO quantos anagramas começam por M?

Solução:

·         Colocando o M na primeira casa: 7 - 1 = 6

·         P₆ = 6! = 720