Análise Combinatória

Análise Combinatória

A Análise Combinatória é área da Matemática que trata dos problemas de contagem.

·         Muitos problemas de análise combinatória apresentarão algum tipo de restrição (uma condição a ser considerada para a resolução do problema). Quando no problema aparecer tal restrição, deve-se iniciar a resolução do problema por tal restrição, só depois se resolve o resto do problema.

·         Problemas de Análise Combinatória normalmente são muito difíceis, mas eles podem ser resolvidos através de duas regras básicas: a regra da soma e regra do produto

·         O termo “ou” em Análise Combinatória indica que devemos somar as possibilidades dos eventos e o termo “e” indica que devemos multiplicar os eventos.

Vejamos:

01)   Com 5 homens e 5 mulheres, de quantos modos se pode formar um casal?

Solução:

Escolha do Homem: 5 opções.

Escolha da mulher: 5 opções.

Portanto: 5 x 5 = 25 maneiras de formar  um casal        

02)   Uma bandeira é formada por 7 listras que devem ser coloridas usando-se apenas as cores verde, azul e cinza. Se cada listra deve ter apenas uma cor e não podem ser usadas cores iguais em listras adjacentes, de quantos modos se pode colorir a bandeira?

Solução:

Há três modos de escolher a cor da primeira listra e, a partir daí, 2 modos de escolher a cor de cada uma das outras 6 listras:

3 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 =  192 modos

03)   Quantos são os números de três dígitos distintos?

Solução: Elementos = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} = dez

O primeiro dígito pode ser escolhido de 9 modos, pois não pode ser igual a 0 (zero). O segundo pode ser escolhido de 9 modos, pois não pode ser igual ao primeiro dígito. O terceiro dígito pode ser escolhido de 8 modos, pois não pode ser igual nem ao primeiro nem ao segundo. Portanto:

9 x 9 x 8 = 648 números.

04)   Um determinado site utiliza uma senha de acesso composta por cinco caracteres, sendo os dois primeiros alfabéticos (26 letras) e os três últimos numéricos  (10 algarismos). Para tornar ainda mais seguro ao acesso ao site, a direção resolveu instituir uma nova senha composta por seis caracteres, sendo os três primeiros alfabéticos e os três últimos numéricos. Com essa nova decisão, quantas senhas adicionais e distintas poderão ser cadastradas?

Solução:

Senhas do site antes do aumento de senhas:

26 x 26 x 10 x 10 x 10 =  676.000

Com o aumento: 26 x 26 x 26 x 10 x 10 x 10 = 17.576.000

Aumentaram : 17.576.000 – 676.000 = 16.900.000 novas senhas

05)   Um certo tipo de código usa apenas dois símbolos, o número zero (0) e o número um (1) e, considerando esses símbolos como letras, podem-se formar palavras. Por exemplo: 0, 01, 00, 001, 110 e 111 são algumas palavras de uma, duas e três letras desse código. Qual o número máximo de palavras, com três letras ou  menos, que podem ser formadas com esse código?

Solução:

1º Palavras com um letra : 2 possibilidades, por exemplo: 00, 01.

2º Palavras com duas letras: 2 possibilidades para a primeira letra e duas para a segunda: 2 x 2 = 4

3º Palavras com três letras: 2 possibilidades para a primeira letra, duas para a segunda e duas para a terceira: 2 x 2 x 2 = 8. Portanto:

2 + 4 + 8 = 14 possibilidades        

06)   Sabendo que os números de telefone não começam com 0 nem com 1, calcule quantos diferentes números diferentes de telefone podem ser formados com 7 algarismos.

Solução:

No problema temos uma restrição : Os números não podem começar com 0 (zero)  e nem com 1. Temos então para a primeira posição somente 8 opções; para as demais posições temos 10 possibilidades para cada uma delas.

8 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10x 10 x 10 = 8.000.000 números.

07)   Os números de uma cidade têm 8 algarismos. Determine a quantidade máxima de telefones a serem instalados, sabendo que os números não devem começar com zero.

Solução:

Temos uma restrição : Os números não podem começar por zero, portanto só temos 9 opções para a primeira casa e 10 opções para as posições restantes:

9 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 = 90.000.000 telefones

08)   Quantas palavras contendo 3 letras diferentes podem ser formadas com um alfabeto de 26 letras?

Solução:

A primeira letra pode ser selecionada de 26 maneiras, a segunda pode ser escolhida de 25 maneiras (uma já foi escolhida para a primeira posição), a terceira pode ser escolhida de 24 maneiras (duas já foram escolhidas).

26 x 25  x 24 = 15.600 letras

09)   Quantas placas de veículos, no Brasil, podem ser codificadas usando-se 3 letras do alfabeto e 4 algarismos?

Solução:

O alfabeto possui 26 letras e o nosso sistema numérico possui 10 algarismos.

·         Para as três primeiras posições temos 26 letras para cada uma delas

·         Para as quatro posições restantes temos 10 algarismos para cada uma delas.

26 x 26 x 26 x 10 x 10 x 10 x 10 = 175.760.000 placas

10)   Quantos números de 4 algarismos podemos formar utilizando, uma única vez, os numerais 3, 4, 5 e 6?

Solução:

Há uma restrição: Cada algarismo só pode ser utilizado uma única vez

4 x 3 x 2 x 1= 24 números diferentes

11)   Quantos números de 4 algarismos podemos formar com, 3, 4,  5 e 7?

Solução:

Não há nenhuma restrição, portanto:

 4 x 4 x 4 x 4 = 256 números

12)   Quantos números de três algarismos formam-se com 0, 1, 2, 3, 4 e 5?

Solução: Temos seis elementos: 0, 1, 2, 3, 4 e 5

 Restrição : Não há números iniciando com Zero, por exemplo, 013 não é um número de três algarismo, é de dois algarismos.

·         Para a primeira opção só temos 5 opções.

·         Para as posições restantes temos seis opções para cada uma delas (incluindo o Zero). Portanto:

5 x 6 x 6  = 180 números

13)   Quantos números de 3 algarismos distintos existem?

Solução:

Elementos : 0, 1,2,3,4,5,6,7,8,9

Restrições: Os números não podem começar por 0 (zero) e têm de ser diferentes.

Cuidado! ...Na primeira casa não se pode usar o algarismo ZERO. Desse modo,  para a primeira casa temos 9 opções, para a segunda temos também 9 opções ( o zero pode entrar), na terceira casa só temos 8 opções ( o zero e nem o algarismo utilizado na primeira podem ser utilizados).Portanto:

9 x 9 x 8 = 648

14)   Quantos números pares de quatro algarismos distintos podem-se formar com 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9?

Solução:

Restrições :

·         Os números devem ser pares. Portanto devem terminar em : 0-2-4-6-8

·         Não podem começar por ZERO.

1º) Números pares terminados em zero:

9 x 8 x 7 x  1 = 504

2º) Números sem o zero na última casa

Na última casa há 4 opções (2-4-6-8).

Na primeira casa não podemos utilizar o zero e nem um algarismo já utilizado na última casa, portanto só temo 8 opções para ela. Na terceira, temos também 8 opções, pois podemos utilizar o zero. Para a terceira só temos 7 opções.

8 x 8 x 7 = 448

Total : 504 + 448 = 952 números pares de quatro algarismos

15)   Dados os algarismos 1,2,3,4,5 e 6, quantos são os números formados com algarismos distintos em que os algarismos 1 e 2 nunca estejam juntos, mas o algarismos 3 e 4 apareçam juntos?

Solução:

·         Pode ser 34 ou 43

·         Pode ser 12 ou 21

·         34, 43, 12 ou 21 serão considerados como um único algarismo cada par.

Ø  Comecemos pelo 34 (tomado como um único algarismo).

Temos seis posições a ser preenchidas. Colocando o 34 na primeira posição, restam 5 posições a ser preenchidas: 1 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120

Ø  Agora o 43 (tomado como um único algarismo).

Temos seis posições a ser preenchidas. Colocando o 43 na primeira posição, restam 5

posições a ser preenchidas: 1 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120

Ø  Agora o 34 e o 12 (tomado cada par como um único algarismo).

Colocando o 34 na primeira posição e o 12 na última, restam 4 posições a ser preenchidas: 1 x 4 x 3 x 2 x 1 = 24

Ø  Agora o 34 e o 21(tomado cada par como um único algarismo).

Colocando o 34 na primeira posição e o 21 na última, restam 4 posições a ser preenchidas: 1 x 4 x 3 x 2 x 1 = 24

Ø  Agora o 43 e o 12 (tomado cada par como um único algarismo).

Colocando o 43 na primeira posição e o 12 na última, restam 4 posições a ser preenchidas: 1 x 4 x 3 x 2 x 1 = 24

Ø  Agora o 34 e o 21 (tomado cada par como um único algarismo).

Colocando o 34 na primeira posição e o 12 na última, restam 4 posições a ser preenchidas: 1 x 4 x 3 x 2 x 1 = 24

Portanto: 2 x 120 – 4 x 24 = 240 – 96 = 144

Observação: Foi feita a subtração porque o 1 e 2 não podem ficar juntos.

Ou 2 x 5! – 4 x 4! = 120 – 96 = 144

16)   Quantos algarismos diferentes com 1 algarismos, podemos formar com os algarismos : 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9?

Solução: Excluindo o Zero : 1 x 9 = 9  números

Ou A¹₉  = 9

17)   Quantos números distintos com 2 algarismos podemos formar com os algarismos: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9?

Solução:

·         Restrições: Os números não podem começar por 0 (zero) e têm de ser diferentes.

·         Cuidado! ...Na primeira casa não se pode usar o algarismo ZERO. Desse modo,  para a primeira casa temos 9 opções, para a segunda temos também 9 opções 9 x 9 = 81

18)   Quantos números distintos com 4 algarismos diferentes podemos formar com os algarismos: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.

Solução:

Restrições: Os números não podem começar por 0 (zero) e têm de ser diferentes.

Cuidado! ...Na primeira casa não se pode usar o algarismo ZERO. Desse modo,  para a primeira casa temos 9 opções, para a segunda temos também 9 opções ( o zero pode entrar), na terceira casa só temos 8 opções ( o zero e nem o algarismo utilizado na primeira podem ser utilizados); na quarta casa temos 7 opções.Portanto:

9 x 9 x 8 x 7= 4536

19)   Quantos números distintos menores que 10.000, podemos formar com os algarismos diferentes da coleção {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}?

Solução:

Números distintos menores do que 10.000 = 9ABC : Terão 4 algarismos

Teremos então quatro posições a ser preenchidas.

Restrição : Os números não podem começar por zero. (10 – 1 = 9)

Primeiro Número : 1 x 9 =9

Segundo Número:  9 x 9 = 81

Terceiro Número:  9 x 9 x 8 = 648

Quarto Número: 9 x 9 x 8 x 7 = 4536

9  + 81 + 648 + 4536 = 5.274

20)   No sistema decimal de numeração quantos números existem com 2 algarismos?

Solução:

Restrição : O zero não pode iniciar nenhum número!

Para a primeira casa só temos 9 possibilidades (o zero não entra), para a segunda casa temos 10 opções ( o zero conta). Os algarismos podem ser repetir a partir da segunda casa: 9 x 10 = 90

21)   No sistema decimal de numeração quantos números existem com 4 algarismos?

Solução:

Restrição : O zero não pode iniciar nenhum número!

9 x 10 x 10 x 10 = 9.000

22)   No sistema decimal de numeração quantos números existem com 5 algarismos?

Solução:

Restrição : O zero não pode iniciar nenhum número!

9 x 10 x 10 x 10 x 10= 90.000

23)   Quantos números ímpares de quatro algarismos podemos escrever utilizando os algarismos 1,2,3, 5 e 7?

Solução:

·         Três possibilidades para o algarismo das unidades: 1- 5 – 7;

·         Cinco possibilidades de escolha para o algarismo das demais casas: milhar –centena - dezena.

Portanto: 5 x 5 x 5 x 3 = 375

24)   Um cofre possui um disco marcado com os dígitos 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. O segredo do cofre é marcado por uma sequência de 3 dígitos distintos. Se uma pessoa tentar abrir o cofre, quantas tentativas deverá fazer, no máximo, para conseguir abri-lo?

Solução:

Restrição: Não pode repetir os dígitos.

·         Para a primeira posição temos 10 possibilidades;

·         Para a segunda posição temo 9 possibilidades;

·         Para a terceira posição tem 8 possibilidades.

Portanto: 10 x 9 x 8 = 720 tentativas

25)   Um salão tem 6 portas. De quantos modos distintos esse salão pode estar aberto?

Solução.

·         Haverá uma opção em que todas as porta estarão fechadas;

·         Para a primeira porta: 2 opções (aberta ou fechada), e assim sucessivamente. Portanto:

·          2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 64

Como há uma opção em que todas as portas estarão fechadas : 64 – 1 = 63 modos

26)   Ordenando de modo crescente as permutações dos algarismos 2, 5, 6, 7 e 8, qual o lugar que ocupará a permutação 68275?

Solução : O número 68.275 será precedido de:

a)      2 xxxx, 5xxxx = 4! + 4! = 48

b)      62xxx, 65xxx , 67xxx = 3 x 3! = 18

c)       6825x = 1! = 1

O número 68275 será precedido por 48 + 18 + 1 = 67 números, então a sua posição será a de número 68

27)   Escritos em ordem crescente os números formados pelas permutações simples dos algarismos 1,2,3,4,5, que posição ocupará o número 43.512?

Solução:

a)      Todos os números começados por 1 : 1xxxx = 4! = 24

b)      Todos os números começados por 2 : 2xxxx = 4! = 24

c)       Todos os números começados por 3 : 3xxxx = 4! = 24

d)      Todos os números começados por 41 : 41xxx = 3! = 6

e)      Todos os números começados por 42 :  42xxx = 3! = 6

f)       Todos os números começados por 431 :  431xx = 2! = 2

g)      Todos os números começados por 432 : 42xx = 2! = 2

Total : 3x 24 + 2 x 6 + 2 x 2 = 88

O número seguinte é o 43.512 que ocupa a 89ª posição.

28)   Qual a soma dos números de 3 algarismos provenientes das permutações simples de 1,2,3?

Solução:

Forma genérica de um número com 3 algarismos: ABC

Valor posicional do 1:

a)      1BC = 100

b)      B1C =   10

c)       BC1 =     1

Ø  (3 -1)! = 2! = 2 x 1 =2

Ø  1 + 2 + 3 = 6

Ø  100 + 10 + 1 = 111

Portanto:

2 x 6 x 111 = 1332

29)   Qual a soma dos números de cinco algarismos distintos que podem ser formados com os algarismos 1,2,3,4 e 5?

Solução:

Forma genérica de um número com 5 algarismos: ABCDE

Valor posicional do 1:

a)      1BCDE = 10.000

b)      A1CDE =   1.000

c)       AB1DE =      100

d)      ABC1E =         10

e)      ABCD1 =           1

Ø  (5 – 1)! = 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24

Ø  1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15

Ø  10.000 + 1.000 + 100 + 10 + 1 = 11.111

Portanto:

24 x 15 x 11.111 = 3.999.960

30)   A diretoria de uma empresa tem doze membros. Quantas comissões de cinco membros podem ser formadas, com a condição de que em cada comissão figurem sempre o presidente e o vice-presidente?

Solução:

Presidente e vice-presidente = 2 membros.

12 – 2 = 10

5 – 2 = 3

C _10,3 = 10! /[ 3! . (10-3)! ] = 10.9.8.7!/3.2.1.7! = 10.9.8/3.2.1 = 720/6 = 120 comissões

31)   A diretoria de uma empresa tem doze membros. Quantas comissões de cinco membros podem ser formadas de modo que em nenhuma delas figure o presidente  e o vice-presidente?

Solução:

Excluindo o presidente e o vice-presidente: 12 – 2 = 10

C _10,5 = 10! /[5! . (10 – 5)!] = 10.9.8.7.6.5!/5!5! = 10.9.8.7.6/5.4.3.2.1= 720.7.6 = 120 = 6.7.6 = 252 comissões

32)   Numa assembleia de 40 cientistas, 8 são físicos. Quantas comissões de 5 membros podem ser formadas incluindo no mínimo um físico?

Solução:

·         No mínimo um físico, significa que as comissões deverão ter 1,2,3,4,5,6,7 ou 8 físicos.

·         Devemos retirar do total de comissões, aquelas nas quais não participam nenhum físico.

·         Número total de comissões incluindo todos o 8 físicos: C _40,5 = 658.008

·         Número total de comissões excluindo todos o 8 físicos (40 – 8 = 32): C _32,5 = 201.376

·         C _40,5 - C _{32,5 =} 658.008 - 201.376 = 456.632 comissões

33)    Numa reunião estão 12 pessoas. Quantas comissões de 3 membros podem ser formadas, com a condição de que uma determinada pessoa A esteja sempre presente e uma determinada pessoa B nunca participe junto com a pessoa A?

Solução:

·         A  pessoa A é sempre integrante das comissões, ficam restando os dois outros, desde que não seja B.

·         Excluindo A e B (não podem figurar juntas) = 12 – 2 = 10

·         C _10,2 = 45 comissões

34)   Numa assembleia há 57 deputados, sendo 31 governistas e os demais, oposicionistas. Quantas comissões de 7 deputados podem se formadas com 4 membros do governo e 3 da oposição?

Solução:                                                                                                                                                           

·         Comissões com membros do governo : C _31,4

·         Escolhendo 3 oposicionistas, entre os 26 existentes (57 – 31 = 26), de C _26,3

·         Portanto: C _31,4  x  C _26,3 = 818.090.000 comissões

35)   Quantos números de 5 algarismos distintos podemos formar, com os algarismos 1,2,3,4,5 começados por 1 e múltiplos de 5?

Solução:

·         Os números obrigatoriamente devem terminar em 5.

·         Colocando o 1 no início e o 5 no final (5 - 2 = 3):

_1_  __  __  __   5

1  x  3 x  2 x  1 x  1 = 6 números

36)   Quantos são os modos de escrever o produto 5 x 4 x 3 x 2?

Solução:

Temos quatro elementos : 5 , 4 , 3 , 2

 4 x 3 x 2 x 1 = 24 modos

37)   De quantos modos podemos ler um jornal de 6 páginas?

Solução:

 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720 modos

Ou 6! = 720 modos

38)   Quantos números maiores que 400.000 podemos formar com os algarismos 1,2,3,4,5,6, sem os repetir?

Solução:

Os números começam com:

·         41-42-43-45-46 = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 ou 5! = 120

·         51-52-53-54-56 = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 ou 5! = 120

·         61-62-63-64-65 = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 ou 5! = 120

Portanto: 120 + 120 + 120 = 360 números

39)   Com os algarismos 1,2,3,4,5,6, quantos números de 6 algarismos diferentes podem ser formados, com os algarismos 3 e 6 colocados nas posições extremas?

Solução:

Temos o seguinte: 

3

6

1 x 4 x 3 x 2 x 1 x 1 = 24

6

3

1 x 4 x 3 x 2 x 1 x 1 = 24

Portanto :  24 + 24 = 48 números

40)   Quantos números pares de 5 algarismos diferentes podemos formar com os algarismos 1,2,3,4,5?

Solução:

·         Na última casa podemos colocar dois algarismos : 2 e 4 ( 2 possibilidades)

·         Como já foi colocado um número a última casa restam 4 algarismos a ser distribuídos.

Portanto: 4 x 3 x 2 x 2 = 48 números

41)   Com os números significativos, quantos números pares de 9 algarismos diferentes existem?

Solução:

Elementos: 1,2,3,4,5,6,7,8,9

·         Na última casa podemos colocar os algarismos : 2 – 4 – 6 – 8 (4 possibilidades)

·         Escolhendo um dos algarismos da última casa, restam 8 algarismos a serem distribuídos nas outras casas:

8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 x 4 = 161.280 números

42)   Quantos jogos devem ser realizados por 10 clubes que participam de um campeonato de 2 turnos?

Solução:

J = n(n – 1)

J = 10(10 – 1) = 10 x 9 = 90 jogos

43)   Com os algarismos significativos, quantos números de 4 algarismos distintitos podemos formar?

Solução:

Elementos : 1,2,3,4,5,6,7,8,9 = nove

 9 x 8 x 7 x 6 = 3024 números

44)   Quantos números de 4 algarismos existem?

Solução:

9 x 9 x 8 x 7 = 4536

45)   Quantos números existem de 4 algarismos distintos, múltiplos de 10?

Solução:

·         O último algarismo obrigatoriamente será o 0 (zero), portanto uma possibilidade , já preenchida.

 9 x 8 x 7 x 1 = 504 números

46)   De quantos modos podemos distribuir 20 alunos numa sala de aula que contém 5 colunas de 6 carteiras individuais?

Solução:

5 x 6 = 30

A (m,p) = m!/(m-p)!

A(30,20) = 30!/(30-20)!  = 30! /10!

47)   Quantos grupos de 3 pessoas podem ser montados com 8 pessoas?

Solução: Temos de distribuir tanto o 3  quanto 8 em 3 casas e depois dividir os resultados.

Observação: Usar os antecessores dos números

8  x  7  x  6 =  8  x 7 x 6 = 56

3  x  2  x  1         6 x 1

48)   Quanto grupos de 2 pessoas podem ser montados com 1.000 pessoas?

Solução: Temos de distribuir tanto o 2  quanto 1000 em 2 casas e depois dividir os resultados.

Observação: Usar os antecessores dos números

1000 x 999 = 500 x 999 = 499.500 grupos

     2 x 1

49)   Quantas combinações com 4 elementos podem ser montadas com as 10 primeiras letras o alfabeto?

Solução:

10 x 9 x 8 x 7 = 10 x 9 x 8 x 7 = 10 x 3 x 7 = 210 combinações

  4 x 3 x 2 x 1           8 x 3

                                                                        

50)   No sistema decimal de numeração, quantos números existem com 4 algarismos com 2 algarismos repetidos?

Solução:

·         Quantidade de números distintos : 9 x 9 x 8 x 7 = 4536

·         Quantidade de números com repetição:  9 x 10 x 10 x 10 = 9.000

Portanto: 9.000 – 4536 = 4464 números

51)   Usando-se apenas os algarismos 1,3,5,7,9 quantos números com 3 algarismos podem ser montados?

Solução:

·         Elementos 5 : {1,3,5,6,9} ® 5! = 5 x 4 x 3 x2 x 1 = 120

·         5 - 3 = 2 ® 2! = 2

·         120/2 = 60 números

52)   Usando-se os algarismos 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 quantos números com 4 algarismos podem ser montados?

Solução:

·         Dez elementos : 10!

·         10 – 4 = 6 ® 6!

·         10 x 9 x 8 x 7 x 6! = 10 x 9 x 8 x 7 = 5040 números

             6!

53)   Quantos números naturais com 3 algarismos podemos formar que não comecem com 16, nem com 17?

Solução:

·         Não primeira posição não podemos ter o  0 (zero);

·         9 x 10 x 10 = 900 números naturais com  três dígitos;

·         Vamos calcular, agora, quantos deles começam com 16 ou 17:

Para a primeira posição só temos uma possibilidade, o dígito 1. Para a segunda posição temos 2 opções: 6 ou 7. Para a terceira posição temos todos os dígitos possíveis : 10.
Portanto : 1 x 2 x 10 = 20.

900 – 20 = 880 números naturais que não começam com 16 ou 17.

54)   De quantos modos podemos escolher 2 objetos em um grupo de 6 objetos distintos?

Solução:

C _{6, 2} = 6!/[2! . (6 – 2)] = 6! /[2!. 4!] = 6 x 5 x 4! = 30/2 = 15 modos

                                                                 2. 4!

55)   Quantas saladas de frutas diferentes podemos escolher com 5 frutas, se possuo 8 frutas distintas?

Solução:

C _{8, 5} = 8! /[5! . (8 – 5 )!] = 8!/ [5! . 3!] = 8 x 7 x 6 x 5! = 56 saladas

                                                                            5! . 6

56)   De quantas maneiras podemos escolher 2 estudantes numa classe com 30 alunos?

Solução:

C _30,2 = 30!/[2! . (30 -2 )!] = 30!/ [2 . 28!] = 30 x 29 x 28! = 15 x 29 = 435 maneiras

                                                                                     2 x 28!

57)   Usando-se os algarismos de 0 a 9, considere todos os N números de 5 algarismos distintos entre si, de forma que os algarismos 2 e 3 sempre estejam juntos nessa ordem. O valor de N é:

Solução:

·         Elementos : {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} = 10

·         Considerando o 23 como um único elemento: 0, 1, 23, 4, 5, 6, 7, 8, 9 . Temos, então 9 elementos;

·         5 – 1 = 4 (retirando o 23 como um único elemento);

A _{9, 4} = 9!/(9 – 4)! = 9!/ 5! = 9 x 8 x 7 x 6 x 5 = 9 x 8 x 7 x 6 = 3024

                                                                5!

N = 3024

58)   Quantos são os números de quatro algarismos formados com os algarismos de 0 a 7 divisíveis por 5?

Solução:

·         Elementos : {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} = 8

·         Para a última casa temo duas possibilidades : 0 – 5

·         Terminando em 0 : 7 x 6 x 5 x 1 = 210 ®{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} = 7

·         Terminando em 5 : 6 x 6 x 5 x 1 = 180 ®{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} = 6

Portanto: 210 + 180= 390