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sexta-feira, 25 de maio de 2012

Análise Combinatória Adalberto 02


153)      Marcela e Mário fazem parte de uma turma de quinze formandos, onde dez são rapazes e cinco são moças. A Tuma reúne-se para formar uma comissão de formatura composta por seis formandos. Qual o número diferentes comissões que podem ser formadas de modo que Marcela participe e Mário não?
Solução:
·         A ordem não interessa, portanto: Combinação!
·         Mário não vai participar, temos então 14 formandos;
·         Marcela participa da comissão de 6 pessoas, restam 5 vagas( Marcela já ocupou uma)!
Portanto: C1,5 = 2002

154)     Em um pelotão há 18 policiais militares: 11 homens e 7 mulheres. De quantos modos pode-se selecionar 6 desses policiais para compor uma equipe, se apenas dois deles devem ser do sexo feminino?
Solução:
·           A ordem não interessa, portanto: Combinação!
·           Obrigatoriamente devem ser escolhidas duas mulheres: (6 - 2 = 4). O número de homens é 4;
·         Equipe com 4 homens: C 7,4;
·         Equipe com 2 homens: C 7,2;
C 7,4  x  C 7,2 = 6.930

155)     Dez amigos, entre eles Adam e Ruthe, devem formar uma fila para comprar as entradas para um filme. O número de diferentes formas que esta fila pode ser formada, de maneira que Adam e Ruthe fiquem sempre juntos, será de quanto?
Solução:
·         Vamos considerar Adam e Ruthe uma única pessoa AR, então a fila só terá 9 pessoas;
·         Mas Adam e Ruthe formam um par = 2
AR
9
8
7
6
5
4
3
2
1
   P2                                  P9                
         Portanto: P2 x P9 =  2 x 362.880 = 725.760

156) A senha para um programa de computador consiste numa sequência LLNNN, onde “L” representa uma letra qualquer do alfabeto normal de  26 letras e “N” é um algarismo de 0 a 9. Tanto letras como algarismos podem ou não ser repetidos, mas é essencial que as letras sejam introduzidas em primeiro lugar, antes do algarismo. Sabendo que o programa não faz distinção entre letras maiúsculas e minúsculas, qual será o número total de diferentes senhas possíveis?
Solução:
·         Elementos:
a.       Letras = 26
b.      Números = 10 algarismos

L
L
N
N
N
26
26
10
10
10
26 x 2 6 x 1 0 x 1 0 x 10 = 676.000 ou 262 x 103




        Caso fossem contadas letras maiúsculas e minúscula, teríamos:

L
L
N
N
N
52
52
10
10
10
52 x 52 x 1 0 x 1 0 x 10 = 2.704.000 ou 522 x 103

157)   De quantos modos podemos colocar 2 reis diferentes em casas não-adjacentes de um tabuleiro 8 c 8? Se os reis fossem iguais?
Solução:
·         O rei só anda de uma em uma casa do tabuleiro;
·         8 x 8 = 64 casas;
·         Rei Negro ocupando uma casa do canto:  4 casas par o Rei Negro e 60 para o Rei Branco (64 – 4 = 60): 4  x 60 = 240 modos para os reis;
·         Rei Negro ocupando uma casa lateral que seja a do canto: 24 posições para o Rei Negro e 58 para o Rei Branco : 24 x 58 = 1.392 modos para os reis;
·         Rei Negro ocupando uma casa central: 36 posições para o Rei Negro e 55 posições para o Rei Branco : 36 x 55 = 1.980 modos para os reis.
Portanto: 240 + 1.932 + 1.980 = 3.612 modos
Se fossem iguais, a resposta seria a metade : 3.612 ÷ 2 = 1.806

158)   De quantos modos podemos colocar 8 torres iguais em um tabuleiro 8 x 8, de modo que não haja duas torres na mesma linha ou na mesma coluna? E se a s torres fossem iguais?
Solução:
·         Há uma torre para cada linha:
1ª T
2ª T
3ª T
4ª T
5ª T
6ª T
7ª T
8ª T
8
7
6
5
4
3
2
1
8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 40.320 modos

Se forem diferentes: 8 x 8 x 7 x 7 x 6 x 6 x 5 x 5 x 4 x 4 x3 x 3 x 2 x 2 x 1 x 1=
64 x 49 x 36 x 25 x 16 x 9 x 4 x 1 = 1.625.702.400 modos

159)   De um baralho comum de 52 cartas, sacam-se sucessivamente e sem reposição duas cartas. De quantos modos isso pode ser feito se a primeira carta deve ser copas e a segunda não deve ser um rei?
Solução:
·         Sacando duas cartas, sobram 50;
·         Caso a primeira carta seja de copas, mas não um rei (52 – 4 = 48), a segunda poderá ser selecionada de 48 modos;
·         Caso a primeira carta seja de copas, mas não um rei, ela poderá ser selecionada de (48 ÷ 4 = 12), ela poderá ser selecionada de 12 modos e a segunda, de 47 modos (48 – 1 = 47).
Portanto: 1 x 48 + 12 x 47 = 612 modos

160) O conjunto A possui 4 elementos, e o conjunto B, 7 elementos. Quantas funções f : A ® B existem? Quantas delas são injetivas?
Solução:
·         A ={a, b, c, d} e B = {1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7}®Escolhidos arbitrariamente;
·         Cada elemento de A pode se relacionar de 7 modos cada um:
7 x 7 x 7 x 7 = 2.401 funções
·      Caso a segunda função seja injetiva, ocorrerá o seguinte:
a)      O 1º elemento de A poderá fazer sua escolha de 7 modos;
b)      O 2º elemento de A poderá fazer sua escolha de 6 modos;
c)      O 3º elemento de A poderá fazer sua escolha de 5 modos;
O 4º elemento de A poderá fazer sua escolha de 4 modos

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